Chapitre 16 · Espace et géométrie
Angles
Nommer, reconnaître, mesurer au rapporteur et calculer des angles.
Le cours
À quoi ça sert ?
Lire l'heure, s'orienter, partager
À 3 h, les aiguilles d'une horloge forment un angle droit : chaque heure vaut 360 ÷ 12 = 30°. Une boussole repère les directions par des angles (du nord à l'est : 90°), un gâteau coupé en 8 parts égales donne des parts de 45°, et une barrière levée à 70° fait 110° avec la route, de l'autre côté.
Un angle est formé par deux demi-droites de même origine. Cette origine commune est le sommet de l'angle, les deux demi-droites sont ses côtés. La taille d'un angle ne dépend pas de la longueur tracée de ses côtés : seulement de leur écartement.
À retenir
Nommer un angle
On écrit trois lettres surmontées d'un chapeau : le sommet au milieu, et de part et d'autre un point de chaque côté. L'angle ci-contre se nomme AOB ou BOA.
Si C est aussi sur la demi-droite [OB), alors AOC est le même angle. Mais OAB est un autre angle : son sommet est A.
À retenir
Nature d'un angle
Un angle se mesure en degrés (°). On le compare à l'angle droit, celui du coin de l'équerre.
Un angle plat a ses côtés dans le prolongement l'un de l'autre : son sommet et deux points de ses côtés sont alignés.
À retenir
Mesurer avec le rapporteur
- Le centre du rapporteur sur le sommet O.
- La ligne du 0 le long d'un côté, ici [OA).
- On lit sur la graduation qui part de ce 0 l'endroit où passe l'autre côté : ici 50°, pas 130°.
Exemple
Contrôler sa lecture
Le rapporteur porte deux graduations qui vont en sens contraires, d'où l'erreur la plus fréquente : lire 180 − x au lieu de x. Avant de mesurer, regarde si l'angle est aigu ou obtus : un angle aigu ne peut pas mesurer 130°. Si aucun côté n'est sur le 0, lis les deux nombres sur la même graduation et fais la différence : de 30 à 105, l'angle mesure 75°.
À retenir
Angles côte à côte : les mesures s'ajoutent
Deux angles qui ont le même sommet et un côté commun, placés de part et d'autre de ce côté, sont dits adjacents : leurs mesures s'additionnent.
Si A, O et C sont alignés, AOC est plat : AOB + BOC = 180°. Avec AOB = 125°, on calcule sans mesurer BOC = 180 − 125 = 55°.
À retenir
Angle nul, angle plein
Un angle décrit aussi une rotation autour de son sommet. Un quart de tour : angle droit, 90°. Un demi-tour : angle plat, 180°. Un tour complet : angle plein, 360°. Si les deux côtés sont confondus (aucune rotation), l'angle est nul : 0°.
À retenir
Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Ils n'ont pas besoin d'être côte à côte : un angle de 125° et un angle de 55° sont supplémentaires, même dessinés loin l'un de l'autre. Mais deux angles adjacents qui forment un angle plat, comme AOB et BOC ci-dessus, sont toujours supplémentaires.
À retenir
Angles opposés par le sommet
Deux droites sécantes forment quatre angles. Deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre sont opposés par le sommet.
Propriété : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. Un demi-tour autour du sommet amène l'un exactement sur l'autre.
Deux angles voisins sont, eux, supplémentaires : ici 50° + 130° = 180°. Et si les quatre angles sont égaux, ce sont quatre angles droits : les droites sont perpendiculaires.
Attention
Pour compter les angles formés par plusieurs demi-droites de même origine, compte les paires de demi-droites : avec 4 demi-droites, 3 + 2 + 1 = 6 angles. N'oublie pas les grands angles qui en contiennent d'autres.
À retenir
La somme des angles d'un triangle
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Découpe les trois coins d'un triangle en papier et recolle-les côte à côte, sommets réunis : ils forment toujours un angle plat. Quel que soit le triangle, grand ou petit, pointu ou aplati.
Exemple
Calculer le troisième angle
Dans le triangle ABC, BAC = 50° et ABC = 60°. La somme des angles d'un triangle est 180°, donc ACB = 180 − 50 − 60 = 70°. Pas besoin de rapporteur.
À retenir
Les angles des triangles particuliers
- Isocèle en A : les deux angles à la base, ABC et ACB, ont la même mesure. Réciproquement, un triangle qui a deux angles de même mesure est isocèle.
- Équilatéral : ses trois angles ont la même mesure. Comme ils font 180° ensemble, chacun mesure 180 ÷ 3 = 60°.
- Rectangle : l'angle droit fait 90°, les deux autres angles se partagent les 90° qui restent.
Exemple
Un isocèle à partir d'un seul angle
ABC est isocèle en A et BAC = 40°. Les angles à la base se partagent 180 − 40 = 140°, donc ABC = ACB = 140 ÷ 2 = 70°.
Si c'est un angle à la base qui mesure 40° : l'autre aussi, et BAC = 180 − 40 − 40 = 100°. Lis toujours où se trouve l'angle connu.
À retenir
Peut-on construire ce triangle ?
Le plus court chemin de A à B est le segment [AB]. Pour tout point C : AC + CB ⩾ AB, avec égalité seulement si C est sur le segment [AB].
Avec trois longueurs, compare la plus grande à la somme des deux autres :
- plus petite : les arcs de compas se coupent, le triangle existe (4 cm, 5 cm, 7 cm : 4 + 5 = 9 > 7) ;
- égale : les trois points sont alignés, ce n'est pas un vrai triangle (3 cm, 4 cm, 7 cm) ;
- plus grande : les arcs ne se rejoignent pas, impossible (2 cm, 3 cm, 7 cm).
Avec des angles : les trois doivent faire 180° en tout. Deux angles donnés doivent donc faire moins de 180° ensemble ; un triangle ne peut pas avoir deux angles obtus, ni deux angles droits.
Attention
Pour calculer un angle, écris la propriété que tu utilises : « la somme des angles d'un triangle est 180° », « deux angles opposés par le sommet ont la même mesure », « les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux ». C'est elle qui prouve ton résultat.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Nommer et reconnaîtreLe sommet au milieu ; aigu, droit, obtus ou plat ?Pas encore jouéPremier rapporteurUn côté sur le 0 : lis la bonne graduation.Pas encore jouéHorloge, boussole, gâteau30° par heure, 45° par direction, 360 ÷ n.Pas encore joué180° dans un triangleTroisième angle, opposés par le sommet, supplémentaires, nul ou plein.Pas encore jouéConstructible ?Trois longueurs ou trois angles : possible ou non ?Pas encore jouéNiveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.La bonne graduationZéro à gauche, angles obtus, figure inclinée : évite le 180 − x.Pas encore jouéLe même angle ?Points sur les côtés ou sur le prolongement : quel nom convient ?Pas encore jouéLe plus petit angleGrand ou petit angle, minutes qui tournent, angle plat.Pas encore jouéIsocèle, angle extérieurSommet principal, codage seul, opposé ou adjacent.Pas encore jouéAlignés ou pas ?Cas d'égalité, demi-droites parallèles, AC + CB ⩾ AB.Pas encore jouéNiveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.Sans le zéroAucun côté sur le 0 : deux lectures et une soustraction.Pas encore jouéCalculer sans rapporteurAngles plats, droits qui se chevauchent, parts ; compter les angles.Pas encore jouéDemi-heures et viragesLa petite aiguille avance, virages enchaînés, tour du carrefour.Pas encore jouéChaînes d'anglesIsocèle à deux cas, points alignés, papillon, trois droites.Pas encore jouéLe troisième côtéValeurs possibles, isocèle, périmètre donné.Pas encore joué