Chapitre 17 · Espace et géométrie
Cercle, médiatrice et bissectrice
Cercle, disque, corde ; médiatrice et équidistance ; cercle circonscrit ; bissectrice.
Le cours
À quoi ça sert ?
Portée d'une antenne, rendez-vous, arrosage
Une antenne de téléphone capte jusqu'à 15 km autour d'elle : la zone couverte est un disque. Un arroseur qui tourne mouille un disque de pelouse. Et pour se retrouver à mi-chemin de deux maisons, il ne suffit pas de prendre le milieu : tous les points de la médiatrice sont à la même distance des deux maisons. On choisit celui qui est sur la route, ou sur la place du village.
À retenir
Le cercle
Le cercle de centre O et de rayon 2 cm est l'ensemble des points situés à exactement 2 cm de O. Tous ses points sont équidistants du centre.
Si A est sur ce cercle, alors OA = 2 cm. Et si OB = 2 cm, alors B est sur ce cercle. Un point D qui n'est pas sur le cercle vérifie OD ≠ 2 cm.
À retenir
Rayon, diamètre, corde
- Un rayon est un segment qui joint le centre à un point du cercle. Le mot désigne aussi sa longueur.
- Une corde est un segment qui joint deux points du cercle.
- Un diamètre est une corde qui passe par le centre. Il mesure le double du rayon, et aucune corde n'est plus longue que lui.
À retenir
Le disque
Le disque de centre O et de rayon 2 cm est l'ensemble des points dont la distance à O est inférieure ou égale à 2 cm : le cercle et tout son intérieur.
Si OF ⩽ 2 cm, F appartient au disque ; si OG > 2 cm, G n'y appartient pas. Un point du cercle appartient donc aussi au disque. Le cercle est une ligne ; le disque est une surface.
Exemple
La chèvre attachée
Une chèvre est attachée au piquet P par une corde de 8 m. Elle peut brouter dans le disque de centre P et de rayon 8 m (en vert), et seulement dans la partie de ce disque qui est dans l'enclos. Le chou est à 11 m de P : 11 > 8, il est hors de portée.
À retenir
La médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
C'est un axe de symétrie du segment : en pliant le long de la médiatrice, A vient sur B. Les longueurs sont conservées, donc pour tout point M de la médiatrice, MA = MB.
À retenir
La propriété caractéristique
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. Cela dit deux choses :
- si un point est sur la médiatrice de [AB], alors il est à égale distance de A et de B ;
- si un point est à égale distance de A et de B, alors il est sur la médiatrice de [AB].
Un point qui n'est pas sur la médiatrice est plus proche de l'une des extrémités que de l'autre.
À retenir
Construire la médiatrice au compas
- Écarte le compas de plus de la moitié de AB.
- Pointe en A et trace un arc de part et d'autre du segment.
- Garde le même écartement, pointe en B et trace un second arc.
- Les arcs se coupent en deux points, chacun à la même distance de A et de B : ils sont sur la médiatrice. La règle (non graduée) les joint.
Exemple
Retrouver le centre d'un cercle
Le centre O est à égale distance de tous les points du cercle. Trace deux cordes [AB] et [BC] : O est sur la médiatrice de [AB] (car OA = OB) et sur celle de [BC] (car OB = OC). Il est à l'intersection des deux. De même, la droite qui joint le centre au milieu d'une corde est la médiatrice de cette corde : elle lui est perpendiculaire.
À retenir
Les médiatrices d'un triangle et le cercle circonscrit
Les trois médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes : elles passent par un même point O.
Pourquoi ? O est sur la médiatrice de [AB], donc OA = OB. Il est sur celle de [BC], donc OB = OC. Alors OA = OC : O est aussi sur la médiatrice de [AC].
Le cercle de centre O qui passe par A passe aussi par B et C : c'est le cercle circonscrit au triangle. Pour le construire, deux médiatrices suffisent.
À retenir
La bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle saillant est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents égaux. C'est l'axe de symétrie de l'angle : en pliant le long de la bissectrice, un côté vient sur l'autre.
Au rapporteur : mesure l'angle, divise par 2, puis place la demi-droite. Pour un angle de 70°, elle fait 35° avec chaque côté.
Attention
« À égale distance de deux points » : pense à la médiatrice. « À une distance donnée d'un point » : pense au cercle (ou au disque, si c'est « au plus »). Beaucoup de problèmes se résolvent en traçant les deux et en cherchant où ils se coupent.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Rayon, diamètre, cordeNommer un segment, situer un point.Pas encore jouéPlace le pointSur le cercle, dans le disque, diamètre.Pas encore jouéMédiatrice et bissectriceMA = MB, construction au compas, moitié d'angle.Pas encore jouéAntenne et arrosagePortée, rendez-vous, chèvre attachée.Pas encore jouéNiveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Cercle ou disque ?Le cercle fait partie du disque ; diamètre donné ; cordes.Pas encore jouéÀ égale distanceMédiatrice, deux distances, point sur une droite.Pas encore jouéRéciproque et compasÉcartement, bissectrice dans un triangle, rayon circonscrit.Pas encore jouéPile à la limiteDiamètre donné, lieu équidistant, deux chèvres.Pas encore jouéNiveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.Deux cerclesDeux disques, points communs, distances extrêmes.Pas encore jouéCentre cachéCentre d'un arc, point équidistant de trois points.Pas encore jouéPreuvesNombre de cercles, preuve du cercle circonscrit, bissectrices.Pas encore jouéTrois villagesAntenne équidistante, arroseurs d'une allée, chèvre sur un câble.Pas encore joué