Chapitre 6 · Calcul
Division euclidienne et divisibilité
Quotient et reste, critères de divisibilité, problèmes de cycles.
Le cours
À quoi ça sert ?
Former des équipes, remplir des minibus
87 élèves partent en sortie et un minibus a 9 places : 87 = 9 × 9 + 6. Neuf minibus sont pleins… mais il reste 6 élèves, donc il en faut 10. La même division te dit combien de sachets de cookies tu peux remplir, combien de semaines il reste avant les vacances ou quel jour tombera ton anniversaire : tout dépend de ce que tu fais du quotient et du reste.
On range 47 œufs dans des boîtes de 6. On remplit 7 boîtes (7 × 6 = 42) et il reste 5 œufs. On a effectué la division euclidienne de 47 par 6 : 47 est le dividende, 6 le diviseur, 7 le quotient et 5 le reste.
À retenir
L'égalité de la division euclidienne
Diviser un entier a par un entier b (non nul), c'est trouver deux entiers q et r tels que :
a = b × q + r avec r < b
La condition r < b est indispensable : 47 = 6 × 6 + 11 est vraie, mais ce n'est pas la division euclidienne, car avec 11 œufs on peut encore remplir une boîte.
Exemple
La division posée
Le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à 47 est 42 = 6 × 7. Donc 47 = 6 × 7 + 5.
Exemple
Le zéro au quotient
4 225 ÷ 7 : on divise d'abord 42 par 7 → 6, reste 0. On abaisse le 2 : 2 < 7, donc on écrit 0 au quotient. On abaisse le 5 : 25 ÷ 7 → 3, reste 4.
Résultat : 4 225 = 7 × 603 + 4. Oublier ce zéro donnerait 63, un quotient dix fois trop petit : on vérifie avec l'ordre de grandeur (7 × 600 = 4 200).
À retenir
Multiples, diviseurs, divisibilité
Quand le reste est nul, on dit que a est divisible par b, que a est un multiple de b et que b est un diviseur de a. Exemple : 42 = 6 × 7 + 0.
- par 2 : le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
- par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5 ; par 10 : il est 0 ;
- par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4 (3 716 : 16 = 4 × 4) ;
- par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3 ; par 9 : elle est un multiple de 9 (5 247 : 5 + 2 + 4 + 7 = 18).
À retenir
Interpréter le quotient et le reste
- « Combien de boîtes pleines ? » → le quotient. 47 œufs : 7 boîtes pleines.
- « Combien de boîtes faut-il pour tout ranger ? » → le quotient + 1 si le reste n'est pas nul : 8 boîtes.
- Les situations qui se répètent (jours de la semaine, motifs) : le reste donne la position dans le cycle. Dans 100 jours : 100 = 7 × 14 + 2, ce sera le même jour qu'aujourd'hui décalé de 2.
Attention
Piège des critères : 213 ne se termine pas par 3, 6 ou 9… et pourtant il est divisible par 3 (2 + 1 + 3 = 6). Pour 3 et 9, on ne regarde jamais le dernier chiffre, mais la somme de tous les chiffres. Et un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3, pas l'inverse.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Niveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Niveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.