Chapitre 23 · Nombres

Énigmes de nombres

Records de nombres, chiffres cachés, calcul astucieux, restes et parts : les astuces des concours.

Le cours

Des collégiens tiennent le stand de la kermesse du collège : ils rendent la monnaie, rangent des sachets de bonbons et numérotent des tickets de tombola.

À quoi ça sert ?

Compter vite et juste, partout

Tenir la caisse de la kermesse, préparer des sachets de bonbons sans en gaspiller, numéroter des centaines de tickets de tombola, estimer d'un coup d'œil si l'addition est correcte : il faut des réflexes de calcul et un peu de ruse. Les mêmes réflexes font gagner un temps précieux dans les problèmes de concours, où l'on demande rarement de poser une grande opération, mais souvent de trouver l'astuce.

Les énigmes de nombres ressemblent à des devinettes, mais elles se résolvent avec quelques outilstoujours les mêmes. Les voici, avec un exemple pour chacun.

À retenir

Outil 1 · Le plus grand, le plus petit

Le chiffre de gauche compte le plus : c'est lui qu'on choisit en premier.
Pour le plus grand nombre : on place à gauche le plus grand chiffre permis, puis on continue vers la droite.
Pour le plus petit : un nombre ne commence jamais par 0. On met le plus petit chiffre non nul en tête, puis le 0 juste après s'il est permis.
On relit chaque contrainte à la fin (chiffres différents, pair, somme des chiffres…).

Exemple

Quatre chiffres différents, impair

Plus grand : 9 8 7 ?. Le dernier chiffre doit être impair et pas encore utilisé : 5. Réponse 9 875.

Plus petit : 1 0 2 ?. Le dernier doit être impair, différent de 1 : 3. Réponse 1 023.

À retenir

Outil 2 · Compter par blocs

Pour trouver le chiffre écrit à une place donnée dans 123456789101112…, on ne recopie pas tout : on compte par blocs de nombres qui ont le même nombre de chiffres.

de 1 à 9 : 9 nombres de 1 chiffre, soit 9 chiffres ;
de 10 à 99 : 90 nombres de 2 chiffres, soit 180 chiffres ;
de 100 à 999 : 900 nombres de 3 chiffres, soit 2 700 chiffres.

Dans le bon bloc, une division euclidienne dit combien de nombres entiers on dépasse, et le reste dit quel chiffre prendre dans le suivant.

Exemple

Le 100e chiffre

On enlève les 9 premiers chiffres : il en reste 91, écrits par paquets de 2. 91 = 2 × 45 + 1 : on dépasse 45 nombres (de 10 à 54), puis on prend le 1er chiffre du suivant, 55. Le 100e chiffre est 5.

À retenir

Outil 3 · Les essais organisés

Dans une addition à chiffres cachés ou un cryptarithme (des lettres à la place des chiffres), on ne devine pas au hasard :

on commence par la colonne des unités et on note les retenues ;
une lettre placée en tête d'un nombre ne vaut pas 0 ;
un chiffre de plus dans le résultat, c'est une retenue : il vaut 1 (ou 2 avec trois termes) ;
on écrit les essais dans un tableau pour n'en oublier aucun.

Exemple

AB + B = BA

10 × A + B + B = 10 × B + A, donc 9 × A = 8 × B. Avec des chiffres, la seule possibilité est A = 8 et B = 9 : 89 + 9 = 98. On vérifie toujours à la fin.

À retenir

Outil 4 · Le calcul astucieux

Facteur nul : si un facteur vaut 0 (même caché dans une parenthèse), tout le produit vaut 0.
Regrouper : 4 × 25 = 100, 2 × 50 = 100, 8 × 125 = 1 000. On change l'ordre des facteurs pour les rapprocher.
Compenser : 999 = 1 000 − 1 ; 98 = 100 − 2. On calcule avec le nombre rond puis on corrige.
Ordre de grandeur : on arrondit chaque nombre pour éliminer les réponses qui ont un zéro de trop ou de moins.

Exemple

Deux calculs de tête

25 × 37 × 4 = (25 × 4) × 37 = 100 × 37 = 3 700.

46 × 99 = 46 × 100 − 46 = 4 600 − 46 = 4 554.

À retenir

Outil 5 · Raisonner sur les restes

Dans une division, le reste est toujours plus petit que le diviseur : c'est ce qui donne le plus petit total possible.
Invariant : si chaque étape ajoute toujours 2 morceaux, la parité ne change jamais. Un nombre impossible se repère sans essayer toutes les étapes.
Périodicité : quand un motif se répète tous les k chiffres, la place n se ramène au reste de n divisé par k.

Exemple

Une décimale très lointaine

1/7 = 0,142857 142857… : le motif a 6 chiffres. Pour la 100e décimale : 100 = 6 × 16 + 4, on prend le 4e chiffre du motif, 8.

À retenir

Outil 6 · Parts et vitesses

« Les 2/3 du reste » ne sont pas les 2/3 du total : on calcule d'abord ce qui reste.
« Vide aux 2/3 », c'est « plein au 1/3 ».
Deux marcheurs qui partent en même temps : pendant le même temps, les distances sont dans le rapport des vitesses. On partage le chemin en parts égales.

Attention

Dans un QCM de concours, les mauvaises réponses sont souvent les erreurs classiques : un zéro de trop, n au lieu de n − 1, la fraction du total au lieu de la fraction du reste. Avant de cocher, vérifie ta réponse avec l'énoncé : c'est le réflexe qui fait la différence.

Les exercices

Le cours

À quoi ça sert ?

Compter vite et juste, partout

Les énigmes de nombres ressemblent à des devinettes, mais elles se résolvent avec quelques outilstoujours les mêmes. Les voici, avec un exemple pour chacun.

À retenir

Outil 1 · Le plus grand, le plus petit

Le chiffre de gauche compte le plus : c'est lui qu'on choisit en premier.
Pour le plus grand nombre : on place à gauche le plus grand chiffre permis, puis on continue vers la droite.
Pour le plus petit : un nombre ne commence jamais par 0. On met le plus petit chiffre non nul en tête, puis le 0 juste après s'il est permis.
On relit chaque contrainte à la fin (chiffres différents, pair, somme des chiffres…).

Exemple

Quatre chiffres différents, impair

Plus grand : 9 8 7 ?. Le dernier chiffre doit être impair et pas encore utilisé : 5. Réponse 9 875.

Plus petit : 1 0 2 ?. Le dernier doit être impair, différent de 1 : 3. Réponse 1 023.

À retenir

Outil 2 · Compter par blocs

Pour trouver le chiffre écrit à une place donnée dans 123456789101112…, on ne recopie pas tout : on compte par blocs de nombres qui ont le même nombre de chiffres.

de 1 à 9 : 9 nombres de 1 chiffre, soit 9 chiffres ;
de 10 à 99 : 90 nombres de 2 chiffres, soit 180 chiffres ;
de 100 à 999 : 900 nombres de 3 chiffres, soit 2 700 chiffres.

Dans le bon bloc, une division euclidienne dit combien de nombres entiers on dépasse, et le reste dit quel chiffre prendre dans le suivant.

Exemple

Le 100e chiffre

À retenir

Outil 3 · Les essais organisés

Dans une addition à chiffres cachés ou un cryptarithme (des lettres à la place des chiffres), on ne devine pas au hasard :

on commence par la colonne des unités et on note les retenues ;
une lettre placée en tête d'un nombre ne vaut pas 0 ;
un chiffre de plus dans le résultat, c'est une retenue : il vaut 1 (ou 2 avec trois termes) ;
on écrit les essais dans un tableau pour n'en oublier aucun.

Exemple

AB + B = BA

10 × A + B + B = 10 × B + A, donc 9 × A = 8 × B. Avec des chiffres, la seule possibilité est A = 8 et B = 9 : 89 + 9 = 98. On vérifie toujours à la fin.

À retenir

Outil 4 · Le calcul astucieux

Facteur nul : si un facteur vaut 0 (même caché dans une parenthèse), tout le produit vaut 0.
Regrouper : 4 × 25 = 100, 2 × 50 = 100, 8 × 125 = 1 000. On change l'ordre des facteurs pour les rapprocher.
Compenser : 999 = 1 000 − 1 ; 98 = 100 − 2. On calcule avec le nombre rond puis on corrige.
Ordre de grandeur : on arrondit chaque nombre pour éliminer les réponses qui ont un zéro de trop ou de moins.

Exemple

Deux calculs de tête

25 × 37 × 4 = (25 × 4) × 37 = 100 × 37 = 3 700.

46 × 99 = 46 × 100 − 46 = 4 600 − 46 = 4 554.

À retenir

Outil 5 · Raisonner sur les restes

Dans une division, le reste est toujours plus petit que le diviseur : c'est ce qui donne le plus petit total possible.
Invariant : si chaque étape ajoute toujours 2 morceaux, la parité ne change jamais. Un nombre impossible se repère sans essayer toutes les étapes.
Périodicité : quand un motif se répète tous les k chiffres, la place n se ramène au reste de n divisé par k.

Exemple

Une décimale très lointaine

1/7 = 0,142857 142857… : le motif a 6 chiffres. Pour la 100e décimale : 100 = 6 × 16 + 4, on prend le 4e chiffre du motif, 8.

À retenir

Outil 6 · Parts et vitesses

« Les 2/3 du reste » ne sont pas les 2/3 du total : on calcule d'abord ce qui reste.
« Vide aux 2/3 », c'est « plein au 1/3 ».
Deux marcheurs qui partent en même temps : pendant le même temps, les distances sont dans le rapport des vitesses. On partage le chemin en parts égales.

Attention

Énigmes de nombres

Le cours

Compter vite et juste, partout

Outil 1 · Le plus grand, le plus petit

Quatre chiffres différents, impair

Outil 2 · Compter par blocs

Le 100e chiffre

Outil 3 · Les essais organisés

AB + B = BA

Outil 4 · Le calcul astucieux

Deux calculs de tête

Outil 5 · Raisonner sur les restes

Une décimale très lointaine

Outil 6 · Parts et vitesses

Les exercices

Niveau 1 · Découverte

Niveau 2 · Entraînement

Niveau 3 · Expert

Énigmes de nombres

Le cours

Compter vite et juste, partout

Outil 1 · Le plus grand, le plus petit

Quatre chiffres différents, impair

Outil 2 · Compter par blocs

Le 100e chiffre

Outil 3 · Les essais organisés

AB + B = BA

Outil 4 · Le calcul astucieux

Deux calculs de tête

Outil 5 · Raisonner sur les restes

Une décimale très lointaine

Outil 6 · Parts et vitesses

Les exercices

Niveau 1 · Découverte

Niveau 2 · Entraînement

Niveau 3 · Expert