Chapitre 12 · Grandeurs et mesures
Espace et volumes
Pavé droit et cube : compter des cubes, calculer un volume, convertir en litres, lire un patron.
Le cours
À quoi ça sert ?
Remplir, ranger, emballer
Combien de litres verser dans un aquarium de 60 cm × 30 cm × 40 cm ? On calcule son volume : 6 × 3 × 4 = 72 dm³, soit 72 L. Le même calcul dit ce que coûte l'eau d'une piscine gonflable, combien de briques de jus acheter pour la fête, ou combien de boîtes tiennent dans un carton de déménagement.
Un pavé droit est un solide dont les 6 faces sont des rectangles, opposées deux à deux. Il a 12 arêtes et 8 sommets. Un cube est un pavé droit dont les 6 faces sont des carrés identiques. En perspective cavalière, les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.
À retenir
Les solides usuels
- Une pyramide a une base (triangle, carré, pentagone…) et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un même sommet. Base à n côtés : n + 1 faces, 2 × n arêtes, n + 1 sommets.
- Un prisme droit a deux bases superposables et parallèles, et des faces latérales rectangulaires. Base à n côtés : n + 2 faces, 3 × n arêtes, 2 × n sommets. Le pavé est un prisme droit à base rectangulaire.
- Le cylindre (deux bases en forme de disque), le cône (une base en disque et un sommet) et la boule ont une surface courbe : ce ne sont pas des polyèdres. Ne confonds pas un cône avec une pyramide, ni un cylindre avec un prisme : regarde si la base est un disque ou un polygone.
À retenir
Patron d'un solide
Un patron est une figure plane qu'on peut découper et plier pour fabriquer le solide, sans superposition. Un patron de cube est formé de 6 carrés : il en existe 11 différents. Une rangée de 4 carrés avec un carré de chaque côté marche ; un bloc de 2 × 2 carrés, jamais. Sur un patron, deux faces qui se touchent par un côté seront voisines sur le cube.
À retenir
Volume du pavé droit et du cube
- Le volume mesure la place occupée par un solide. 1 cm³ est le volume d'un cube de 1 cm d'arête.
- Pavé droit : V = L × l × h. Cube d'arête c : V = c × c × c.
- Les trois longueurs doivent être dans la même unité.
Exemple
Compter par couches
Un pavé de 5 cm × 4 cm × 3 cm : une couche contient 5 × 4 = 20 cubes de 1 cm³, et il y a 3 couches. Son volume est 20 × 3 = 60 cm³. Pour un empilement de cubes, on compte colonne par colonne en le regardant de dessus, sans oublier les cubes cachés.
À retenir
Unités de volume et de contenance
- Un cube de 1 dm d'arête contient 10 × 10 × 10 cubes de 1 cm : 1 dm³ = 1 000 cm³. De même, 1 m³ = 1 000 dm³. On passe d'une unité à la suivante en multipliant par 1 000.
- Contenance : 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³. Donc 1 L = 1 000 cm³ et 1 m³ = 1 000 L.
Exemple
L'aquarium
Un aquarium mesure 50 cm × 30 cm × 40 cm. Combien de litres contient-il ?
On passe en dm pour obtenir des dm³, donc des litres : 5 × 3 × 4 = 60 dm³ = 60 L.
Attention
Si on double les arêtes d'un cube, son volume n'est pas doublé : il est multiplié par 2 × 2 × 2 = 8. Et pour convertir un volume, c'est × 1 000, pas × 10 ni × 100.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Compter les cubesCouches × rangées × cubes.Pas encore jouéVolume du pavé droitPour aller plus loinL × l × h, c × c × c, 1 L = 1 dm³.Pas encore jouéAquarium et piscinePour aller plus loinL × l × h, puis litres ou m³.Pas encore jouéLes solides usuelsPyramide, cône, cylindre, prisme droit, boule, pavé, cube.Pas encore jouéNiveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Les cubes cachésCompter aussi ce qu'on ne voit pas.Pas encore jouéLitres et patronsPour aller plus loin× 1 000, unités mélangées, le vrai patron du cube.Pas encore jouéL'eau ne monte pas jusqu'en hautPour aller plus loincm en dm, m³ en L, boîtes qui ne rentrent pas.Pas encore jouéFaces, arêtes, sommetsPrisme couché, base triangulaire, prisme hexagonal ou cylindre ?Pas encore jouéNiveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.Faces peintesCoins, arêtes, faces, intérieur, et compléter un pavé.Pas encore jouéAquariums et pliagesPour aller plus loinEau qui monte, arêtes doublées, face opposée.Pas encore jouéSeaux, briques et cartonsPour aller plus loinArrondir, payer l'eau, choisir le bon carton.Pas encore jouéQui suis-je ?Décrire par les faces, retrouver la base à partir des arêtes.Pas encore joué