Chapitre 2 · Nombres
Fractions
Lire, placer et comparer des fractions, prendre une fraction d'une quantité.
Le cours
À quoi ça sert ?
Partager, remplir, organiser son temps
Douze amis, 38 de pizza chacun : combien de pizzas commander ? La jauge de la voiture indique 14 : combien de litres pour faire le plein ? Un cours dure 34 d'heure, soit 45 min. Les fractions servent dès qu'on partage quelque chose en parts égales.
On partage un disque en 4 parts égales et on en colorie 3 : la partie coloriée représente 34 du disque (« trois quarts »). Le nombre du bas, 4, est le dénominateur : il dit en combien de parts égales on partage. Le nombre du haut, 3, est le numérateur : il compte les parts prises.
À retenir
Une fraction est un quotient
- ab est le nombre qui, multiplié par b, donne a : b × a/b = a. C'est le quotient de a par b.
- 34 = 3 ÷ 4 = 0,75 et 74 = 1,75. Mais 13 n'a pas d'écriture décimale exacte (0,333… ne s'arrête jamais) : on garde la fraction.
À retenir
Placer une fraction sur une droite graduée
Pour placer ab, on partage l'unité (de 0 à 1) en b parts égales, puis on compte a graduations depuis 0. Une fraction peut être plus grande que 1 : 74 = 1 + 34, elle se trouve entre 1 et 2. Attention : le dénominateur compte les parts dans une unité, pas sur toute la droite.
À retenir
Fractions égales
On ne change pas une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par le même nombre : 23 = 812 (× 4) et 1520 = 34 (÷ 5). Diviser sert à simplifier une fraction.
À retenir
Prendre une fraction d'une quantité
Pour calculer 34 de 28, on partage 28 en 4 : 28 ÷ 4 = 7, puis on prend 3 parts : 3 × 7 = 21. On peut aussi calculer 28 × 3 ÷ 4. Et 14 d'heure, c'est 60 ÷ 4 = 15 min (une heure dure 60 minutes, pas 100).
À retenir
Additionner et soustraire des fractions
- Même dénominateur : on ajoute (ou on retire) des parts de même taille, le dénominateur ne change pas. 27 + 37 = 57.
- Dénominateurs multiples : on découpe les grandes parts. 12 + 38 = 48 + 38 = 78. Jamais 410 : on n'ajoute pas les dénominateurs !
- Cas simples quelconques : on cherche un multiple commun. 54 + 23 = 1512 + 812 = 2312.
- À savoir par cœur : 12 + 14 = 34 · 1 − 34 = 14 · 14 = 0,25 · 34 = 0,75 · 32 = 1,5.
À retenir
Multiplier une fraction par un nombre entier
3 × 27 = 27 + 27 + 27 = 67 : on multiplie le numérateur. L'ordre ne compte pas : 27 × 3 = 3 × 27.
Pour calculer une fraction d'un nombre entier, on multiplie la fraction par le nombre : 25 de 60, c'est 25 × 60 = 2 × 12 = 24 (un cinquième de 60 vaut 12).
À retenir
Nombres mixtes et encadrement
Un nombre mixte est la somme d'un entier et d'une fraction plus petite que 1. Avec la division euclidienne 17 = 5 × 3 + 2 : 175 = 155 + 25 = 3 + 25.
On en déduit l'encadrement par deux entiers consécutifs : 3 < 175 < 4.
Exemple
Égalités à trous et rangement
7 × … = 3 : aucun entier ne convient, mais 37 oui, car 37 est le nombre qui, multiplié par 7, donne 3. Ici, l'écriture fractionnaire est la seule écriture exacte.
Ranger 1, 53, 76, 99100, 1 + 13 : on compare d'abord à 1, puis on écrit en nombres mixtes (76 = 1 + 16, 53 = 1 + 23). Ordre croissant : 99100 < 1 < 76 < 1 + 13 < 53.
Exemple
Dans la vraie vie : le gâteau d'anniversaire
Leïla prend une part égale au quart du gâteau, Léo une part égale au sixième. Quelle fraction reste-t-il pour les autres invités ?
On partage en 12 (multiple de 4 et de 6) : 14 = 312 et 16 = 212. Il reste 1212 − 312 − 212 = 712 du gâteau.
Exemple
Comparer des fractions
- Même dénominateur : on compare les numérateurs. 58 > 38.
- Même numérateur : plus on partage, plus les parts sont petites. 35 > 38.
- On compare à 1 : 54 > 1 (numérateur plus grand) alors que 1112 < 1.
Exemple
Deux problèmes d'expert
Un réservoir est rempli aux 35. Il manque 40 L pour le remplir. Quelle est sa contenance ?
Les 40 L correspondent à la partie vide : 55 − 35 = 25. Donc 15 = 40 ÷ 2 = 20 L et le réservoir contient 5 × 20 = 100 L.
Les 23 d'un jardin sont des légumes ; les 34 des légumes sont des tomates.
On partage le jardin en 3 × 4 = 12 petites parts : les légumes en couvrent 2 × 4 = 8, les tomates 2 × 3 = 6. Les tomates occupent 612 = 12 du jardin.
Attention
Trois réflexes : vérifier que les parts sont égales avant de compter ; relire si l'on demande la partie prise ou ce qui reste ; repérer si le nombre donné est le tout ou une partie (si « 25 de la classe, soit 12 élèves », alors 15 = 6 et la classe compte 30 élèves).
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Lire une fractionDisques, rubans et droite graduée de 0 à 1.Pas encore jouéFraction d'une quantitéLes 3/4 de 28, fractions égales, écriture décimale.Pas encore jouéDans la vraie vieParts de gâteau, jauge d'essence, fractions d'heure.Pas encore jouéCalculer avec les fractions1/2 + 1/4, même dénominateur, 3 × 2/7, 7 × … = 3.Pas encore jouéNiveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Parts inégales et plus que 1La partie blanche, des parts pas égales, 7/4 sur la droite.Pas encore jouéLis bien la questionCe qui reste, les fractions d'heure, remonter au total.Pas encore jouéCe qui reste, le toutFaire le plein, temps libre restant, remonter au total.Pas encore jouéMixtes et dénominateurs multiples1/2 + 3/8, 17/5 = 3 + 2/5, encadrer, 2/5 × 60.Pas encore jouéNiveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.Fraction d'une fractionLes 3/4 des 2/3, une droite sans le 1, retrouver la tablette.Pas encore jouéProblèmes d'expertRéservoir vide ou plein, fraction du reste, donnée inutile.Pas encore jouéCommander, prévoir, comparerPizzas entières, jauge en huitièmes, qui dort le plus ?Pas encore jouéRanger et calculer en expertRanger une liste, 5/4 + 2/3, ce qui reste du gâteau.Pas encore joué