Chapitre 24 · Raisonnement
Grilles, suites et motifs
Case la plus contrainte, total à répartir, périodicité, compter sans oubli ni doublon.
Le cours
À quoi ça sert ?
Des grilles et des motifs partout
Remplir une grille de jeu dans le journal, savoir quel jour tombera le 100e jour des vacances, prévoir combien de dalles il faut pour une frise, compter les menus possibles à la cantine ou les matchs d'un tournoi : tout cela demande de s'organiser plutôt que de calculer beaucoup. Les quatre outils de ce chapitre servent dans la vie de tous les jours… et dans la moitié des problèmes de concours.
Une grille à compléter, un motif qui se répète, une liste de possibilités à compter : ces problèmes ont l'air très différents, mais ils se résolvent avec quatre outils. Apprends à reconnaître lequel utiliser.
À retenir
Outil 1 · Partir de la case la plus contrainte
- Cherche la ligne (ou la colonne, ou le nombre) où il reste le moins de possibilités : une seule case vide, une somme déjà atteinte, un 0 au démineur…
- Remplis cette case, puis recommence : chaque case trouvée en débloque d'autres.
- Si tu es bloqué, essaie les deux possibilités d'une case et regarde laquelle mène à une contradiction.
Exemple
Un carré magique de somme 15
La première ligne n'a qu'une case vide : 15 − 8 − 6 = 1. La diagonale qui part du 6 : 15 − 6 − 5 = 4, en bas à gauche. Puis chaque nouvelle case libère une autre ligne : on ne devine jamais, on déduit.
À retenir
Outil 2 · Répartir le total
Quand plusieurs lignes ont la même somme, additionne-les toutes : tu retrouves le total des nombres.
- Carré magique 3 × 3 avec les nombres de 1 à 9 : le total vaut 45, réparti sur 3 lignes, donc somme magique = 45 ÷ 3 = 15.
- Si une case appartient à deux lignes, elle est comptée deux fois : c'est elle qui fait la différence.
Exemple
La case du coin
On place 1, 2, 3, 4 et 5 dans une figure en L : une colonne de 3 cases et une ligne de 3 cases qui partagent le coin. Chacune a pour somme 10. Colonne + ligne = 20, c'est le total (15) plus le coin compté une deuxième fois : coin = 20 − 15 = 5.
À retenir
Outil 3 · Périodicité et reste
Un motif qui se répète tous les p objets revient au même endroit toutes les p places. Pour connaître l'objet n° n, on fait la division euclidienne de n par p : le reste donne la place dans le motif.
Attention au reste 0 : c'est le dernier objet du motif, pas le premier.
Exemple
Rond, carré, triangle, rond, carré…
Le motif compte 3 objets. Position 50 : 50 = 3 × 16 + 2, le reste est 2 → c'est un carré. Position 51 : 51 = 3 × 17 + 0, reste 0 → le dernier du motif, un triangle.
Même idée pour un train où 3 wagons voisins ont toujours le même total : les wagons 1 à 3 et 2 à 4 ont la même somme, donc le wagon 4 est pareil que le wagon 1. Tout se répète de 3 en 3.
À retenir
Outil 4 · Compter sans oubli ni doublon
- Fais un arbre : une branche par choix, étage par étage. Si chaque étage offre le même nombre de choix, on multiplie (2 entrées × 3 plats = 6 menus).
- Ou un tableau rangé dans l'ordre (du plus petit au plus grand) : on voit tout de suite ce qui manque.
- Repère les doublons : une poignée de main entre Ana et Bilal est aussi celle entre Bilal et Ana.
Exemple
Les poignées de main
5 amis se serrent tous la main. Chacun serre 4 mains : 5 × 4 = 20… mais chaque poignée de main est comptée deux fois. Il y en a 20 ÷ 2 = 10. Vérification avec un tableau rangé : 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Attention
Avant de calculer, demande-toi : « Où est la case la plus contrainte ? Y a-t-il un total à répartir ? Est-ce que quelque chose se répète ? Comment ranger ma liste ? » Ces quatre questions ouvrent la porte des défis de type concours.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Niveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Niveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.