Chapitre 15 · Espace et géométrie
Parallèles et perpendiculaires
Reconnaître, noter et déduire : // et ⊥, sans se fier à l'œil.
Le cours
À quoi ça sert ?
Bricoler, se repérer, se garer
Pour poser des étagères bien droites, on vérifie à l'équerre qu'elles sont perpendiculaires au même montant : elles sont alors parallèles. Sur un plan de ville, deux rues perpendiculaires à une même avenue ne se croiseront jamais. Et pour relier une maison à la route avec le tuyau le plus court, on suit la perpendiculaire : sa longueur est la distance de la maison à la route.
Deux droites distinctes d'un plan n'ont que deux façons d'être placées : soit elles se coupent en un seul point, elles sont sécantes ; soit elles n'ont aucun point commun, elles sont parallèles. Attention : une droite est illimitée. Deux droites peuvent sembler ne pas se couper sur la feuille et se couper plus loin.
Exemple
Sécantes, perpendiculaires, parallèles
À retenir
Vocabulaire et notations
- (d₁) ⊥ (d₂) se lit « (d₁) est perpendiculaire à (d₂) » : les deux droites se coupent en formant un angle droit. Sur une figure, on le code par un petit carré.
- (d₁) // (d₂) se lit « (d₁) est parallèle à (d₂) » : les droites ne se coupent pas (ou sont confondues).
- Pour vérifier un angle droit, on utilise l'équerre. Pour vérifier des parallèles, on vérifie à l'équerre qu'elles sont perpendiculaires à une même droite. L'œil ne suffit pas.
- La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur AH, où H est le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A. C'est le plus court chemin de A à la droite.
À retenir
Les trois propriétés à connaître par cœur
- Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
- Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Exemple
Rédiger une déduction : on sait que… or… donc…
Données : (AB) ⊥ (d) et (CD) ⊥ (d). Que dire de (AB) et (CD) ?
- On sait que (AB) ⊥ (d) et (CD) ⊥ (d).
- Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
- Donc (AB) // (CD).
On peut enchaîner : si de plus (EF) ⊥ (CD), la propriété 2 donne (EF) ⊥ (AB). Retiens que deux « ⊥ » de suite donnent « // ».
À retenir
Sur un quadrillage : compter les carreaux
Pour aller d'un point à un autre d'une droite, on compte le déplacement : par exemple « 2 → et 1 ↑ ».
- Même déplacement (ou proportionnel : 4 → et 2 ↑) : les droites sont parallèles.
- Les deux nombres échangés et un sens inversé (2 → et 1 ↑ devient 1 → et 2 ↓) : c'est un quart de tour, les droites sont perpendiculaires.
Attention
Ne te fie jamais à l'apparence : deux droites qui « ont l'air » parallèles peuvent se couper loin hors de la feuille, et deux segments qui ne se touchent pas peuvent porter des droites sécantes. On conclut avec un codage, une propriété ou en comptant les carreaux, pas à l'œil.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Niveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Niveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.