Chapitre 9 · Données
Probabilités
Le hasard mesuré entre 0 et 1 : urnes, dés, roues, comparer ses chances, répéter l'expérience.
Le cours
À quoi ça sert ?
Tombola, météo, jeux : mesurer le hasard
« 70 % de risque de pluie » : faut-il prendre un parapluie ? À la tombola, vaut-il mieux acheter 5 tickets sur 100 ou 8 sur 200 ? Au jeu de société, as-tu plus de chances de faire 6 ou un nombre pair ? On ne peut pas prévoir le hasard, mais on peut le mesurer avec un nombre : la probabilité. Elle sert à choisir le meilleur jeu, à comprendre la météo et à ne pas se faire piéger par les loteries.
Lancer un dé, tirer une boule dans une urne sans regarder, faire tourner une roue : ce sont des expériences aléatoires, dont on ne peut pas prévoir le résultat. Chaque résultat possible est une issue (avec un dé : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Un évènement est réalisé par certaines issues : « obtenir un nombre pair » est réalisé par 2, 4 et 6.
À retenir
Une probabilité est un nombre entre 0 et 1
La probabilité d'un évènement impossible vaut 0, celle d'un évènement certain vaut 1. Tous les autres évènements ont une probabilité comprise entre 0 et 1 : plus elle est proche de 1, plus l'évènement a de chances de se produire.
Attention : gagner au loto est très peu probable, mais pas impossible. Ne pas gagner est très probable, mais pas certain.
À retenir
« Une chance sur quatre »
L'expression « une chance sur quatre » correspond à la probabilité 14, qui se lit « 1 sur 4 ». « Une chance sur deux » correspond à 12, c'est-à-dire 0,5 ou 50 %.
À retenir
Calculer une probabilité
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, boules tirées au hasard, secteurs de même taille), on dit qu'elles sont équiprobables, et :
probabilité = nombre d'issues favorablesnombre d'issues possibles
Exemple
Une urne, trois écritures
Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire une boule au hasard, sans regarder. Il y a 10 issues possibles, dont 3 favorables : la probabilité de tirer une rouge est 310. Une probabilité s'écrit en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage : 310 = 0,3 = 30 %.
Exemple
Composer un sac
Un sac contient 12 billes. Pour que la probabilité de tirer une bille bleue soit 14 (soit 0,25 ou 25 %), il faut 1 bille bleue pour 4 billes, donc 12 ÷ 4 = 3 billes bleues.
À retenir
Comparer des probabilités
Ce qui compte, ce n'est pas le nombre de boules gagnantes, mais la proportion. Urne A : 3 rouges sur 4 boules, soit 34 = 75 %. Urne B : 6 rouges sur 10 boules, soit 610 = 60 %. Il y a plus de rouges dans B, mais on a plus de chances avec A. Pour comparer, on écrit les probabilités avec le même dénominateur, ou en pourcentage.
À retenir
Répéter une expérience
Si on répète une expérience un grand nombre de fois, la proportion (on dit aussi la fréquence) d'apparition d'un résultat se rapproche de sa probabilité. Sur 10 lancers d'une pièce, on peut obtenir 7 PILE (70 %) ; sur 1 000 lancers, on obtient presque toujours entre 470 et 530 PILE, proche de 50 %.
Exemple : la classe lance 500 fois deux pièces et obtient 127 fois « deux fois PILE ». La proportion est 127500 = 25,4 %, proche de la probabilité 14 = 25 %.
Attention
- Une pièce n'a pas de mémoire : après 5 FACE de suite, PILE a toujours une chance sur deux.
- L'évènement contraire : si la probabilité de pluie est 30 %, celle de ne pas avoir de pluie est 100 % − 30 % = 70 %.
- Avec deux pièces, il y a 4 issues équiprobables (PILE-PILE, PILE-FACE, FACE-PILE, FACE-FACE), pas 3.
- Si les secteurs d'une roue n'ont pas la même taille, on la redécoupe en secteurs égaux avant de compter.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.L'échelle de 0 à 1Impossible, peu probable, une chance sur deux, probable, certain.Pas encore jouéCalculer une probabilitéUrne, dé, roue : issues favorables sur issues possibles.Pas encore jouéLa meilleure chanceDeux urnes, deux roues : laquelle choisir ?Pas encore jouéLe laboratoireLancer 10, 100, 1 000 fois : la proportion se stabilise.Pas encore jouéDans la vraie vieTombola, météo, jeu de société, bonbons.Pas encore jouéNiveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Presque, mais pas tout à faitLe loto, dix fois le 1, « une chance sur quatre ».Pas encore jouéLes pièges du calculÉvènement contraire, « au moins », lettres répétées, écriture décimale.Pas encore jouéPlus de boules, moins de chancesCe qui compte, c'est la proportion.Pas encore jouéLa pièce n'a pas de mémoireSéries, trop peu de lancers, proportion et probabilité.Pas encore jouéLire le hasard15 tickets sur 300, ce que veut dire 70 % de pluie.Pas encore jouéNiveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.Placer exactementSur une échelle graduée : urne, météo, deux pièces.Pas encore jouéProblèmes d'expertComposer le sac, ajouter des boules, secteurs inégaux, 32 cartes.Pas encore jouéDépartagerTrois urnes, le dé contre l'urne, égaliser les chances.Pas encore jouéL'urne cachéeDeviner la composition à partir de 1 000 tirages.Pas encore jouéJouer malinJeu équitable ?, trois écritures à comparer, sachet à reconstituer.Pas encore joué