Chapitre 3 · Nombres
Proportionnalité et pourcentages
Compléter un tableau, passer par l'unité, appliquer un pourcentage, lire une échelle.
Le cours
À quoi ça sert ?
Le marché, la carte, la consommation
Si 2 kg de pommes coûtent 5 €, 6 kg coûtent 3 × 5 = 15 € : le prix est proportionnel à la masse. C'est le même raisonnement pour lire une carte (1 cm pour 250 m), prévoir l'essence d'un trajet (6 L pour 100 km) ou mesurer l'eau d'une douche. Et pour choisir la meilleure offre, on ramène tout à la même quantité.
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient les valeurs de l'une en multipliant celles de l'autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Ici, un cahier coûte 1,50 € :
| Nombre de cahiers | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 3 | 6 | 9 | 15 |
On passe de la première ligne à la seconde en multipliant par 1,5 : c'est le coefficient.
À retenir
Trois méthodes pour compléter
- Le coefficient : 10 × 1,5 = 15.
- Le passage à l'unité : 4 cahiers coûtent 6 €, donc 1 cahier coûte 6 ÷ 4 = 1,50 €, et 10 cahiers 10 × 1,50 = 15 €.
- La linéarité : 10 cahiers = 4 cahiers + 6 cahiers, donc 6 € + 9 € = 15 €. Ou : 6 cahiers, c'est 3 fois 2 cahiers, donc 3 × 3 € = 9 €.
Exemple
Le piège additif
Pour 4 personnes, il faut 6 œufs. Combien pour 10 personnes ?
Faux : « 6 personnes de plus, donc 6 œufs de plus : 12 ». Juste : pour 2 personnes il faut 3 œufs (on divise par 2), et 10 personnes = 5 × 2 personnes, donc 5 × 3 = 15 œufs.
À retenir
Reconnaître une situation de proportionnalité
Dans un tableau, on calcule les quotients « ligne du bas ÷ ligne du haut » : ils doivent être tous égaux. Que les deux grandeurs augmentent ensemble ne suffit pas ! Ne sont pas proportionnels : le prix d'un taxi (avec une prise en charge) et la distance, la taille d'un enfant et son âge, l'aire d'un carré et son côté.
À retenir
Un pourcentage, c'est une fraction sur 100
Par définition, a % est égal à la fraction a/100 : 37 % = 37/100 = 0,37. Un même nombre a plusieurs écritures :
25 % = 25/100 = 0,25 = 1/4 · 35 % = 35/100 = 0,35 = 7/20 · 5 % = 5/100 = 0,05
Les pourcentages compris entre 0 % et 100 % servent à exprimer des proportions et desprobabilités. Attention : 5 % = 0,05 (5 centièmes), et non 0,5.
À retenir
Exprimer une proportion en pourcentage
Une proportion compare une partie au tout : proportion = partie ÷ tout. Pour l'écrire en pourcentage, on cherche la fraction égale sur 100.
- 12 élèves sur 50 portent des lunettes : 12/50 = 24/100 = 24 % (× 2 en haut et en bas).
- 120 demi-pensionnaires sur 400 élèves : 120/400 = 30/100 = 30 % (÷ 4 en haut et en bas).
- 2 boules blanches et 8 noires dans un sac : 2/10 = 20/100 = 20 % de boules blanches.
La partie ne peut pas dépasser le tout : une proportion est toujours inférieure ou égale à 1, soit 100 %.
Exemple
Lire un pourcentage sur une étiquette
Un aliment contient 42 % de glucides : pour 100 g de cet aliment, il y a 42 g de glucides. Donc 200 g en contiennent 2 × 42 = 84 g, et 50 g en contiennent 42 ÷ 2 = 21 g.
À retenir
Appliquer un pourcentage
Prendre p % d'une quantité, c'est la multiplier par p puis diviser par 100 : 30 % de 60 = 60 × 30 ÷ 100 = 18.
À connaître : 50 % = la moitié, 25 % = le quart, 75 % = les trois quarts, 10 % = le dixième (et 20 % = 2 × 10 %).
Exemple
Les soldes
Un pull à 40 € baisse de 30 %. La réduction vaut 40 × 30 ÷ 100 = 12 €, donc le nouveau prix est 40 − 12 = 28 €. Attention : 12 € est la réduction, pas le prix à payer.
À retenir
L'échelle d'une carte
Sur une carte à l'échelle 1/25 000, les distances réelles sont proportionnelles aux distances sur la carte : 1 cm représente 25 000 cm en réalité. Donc 6 cm représentent 150 000 cm = 1 500 m = 1,5 km. Pense à convertir à la fin.
Attention
Avant de calculer, vérifie que la situation est bien proportionnelle, et repère de quoi on prend le pourcentage : « 20 % des filles » se calcule sur le nombre de filles, pas sur toute la classe. Pour comparer deux offres, ramène-les à la même quantité.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Niveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Niveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.Échelles et pourcentagesPour aller plus loinCarte au 1/25 000, meilleure offre, pourcentage d'un pourcentage.Pas encore jouéChoisir la meilleure optionDeux étals, durée de randonnée, voiture ou train, économiser l'eau.Pas encore jouéProportions d'expertComparer deux clubs, étiquette nutritionnelle, jamais plus de 100 %.Pas encore joué