Chapitre 19 · Espace et géométrie
Symétrie axiale
Plier, tracer le symétrique sur quadrillage, trouver les axes d'une figure.
Le cours
À quoi ça sert ?
Plier, découper, se regarder dans un miroir
Plie une feuille, découpe un motif, déplie : tu obtiens une figure symétrique. C'est le secret des guirlandes et des napperons. Les façades des châteaux, de nombreux logos, le mot AMBULANCE écrit à l'envers pour être lu dans un rétroviseur : tout cela repose sur la symétrie axiale. Et dans un miroir, une horloge qui semble marquer 4 h 20 indique en réalité 7 h 40.
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent quand on plie la feuille le long de (d). La droite (d) s'appelle l'axe de symétrie. C'est l'effet d'un miroir posé sur (d), ou d'une tache d'encre sur une feuille pliée.
Exemple
Une figure et son symétrique
Chaque sommet de la figure grise est à la même distance de (d) que le sommet correspondant de la figure verte, de l'autre côté, sur la même ligne du quadrillage.
À retenir
Symétrique d'un point
Le symétrique de A par rapport à (d) est le point A' tel que (d) coupe le segment [AA'] perpendiculairement et en son milieu I. Autrement dit, (d) est la médiatrice de [AA'].
Si A est sur (d), son symétrique est A lui-même.
À retenir
Ce que la symétrie conserve
- les longueurs : le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
- les angles : un angle droit reste un angle droit ;
- l'alignement : des points alignés ont des symétriques alignés ;
- les aires et les périmètres. Seule l'orientation change : la figure est « retournée ».
Exemple
Sur quadrillage, avec un axe en diagonale
Avec un axe horizontal ou vertical, on compte les carreaux jusqu'à l'axe et on reporte la même distance de l'autre côté.
Avec un axe en diagonale, on ne se déplace plus en ligne droite le long du quadrillage : on traverse l'axe en diagonale, perpendiculairement à lui. B et B' sont sur la même diagonale, à la même distance de l'axe. La case C, coupée par l'axe, est sa propre image.
À retenir
Axe de symétrie d'une figure
Une droite est un axe de symétrie d'une figure si la figure est sa propre symétrique : en pliant le long de la droite, les deux moitiés se superposent exactement. Une figure peut avoir 0, 1, 2, 3, 4… axes (le cercle en a une infinité : tous ses diamètres).
À retenir
La médiatrice d'un segment
La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par son milieu I. C'est un axe de symétrie du segment : A et B sont symétriques par rapport à elle. Tout point M de la médiatrice est à la même distance de A et de B : MA = MB.
Attention
Pièges classiques : la diagonale d'un rectangle n'est pas un axe de symétrie (plie une feuille A4 en diagonale pour t'en convaincre). Un parallélogramme ou une hélice se retrouvent identiques après un demi-tour, mais aucun pliage ne les superpose : ils n'ont aucun axe. Pour tester une droite, cherche une case ou un sommet dont le symétrique n'est pas dans la figure : un seul suffit pour dire « non ».
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Où est l'axe ?Repère la droite qui partage la figure en deux moitiés superposables.Pas encore jouéLe miroir du quadrillageColorie le symétrique d'une figure, case par case.Pas encore jouéPlier et découperTrous d'une feuille pliée, lettres symétriques, fenêtres d'une façade, heure dans le miroir.Pas encore jouéNiveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Niveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.