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Chapitre 13 · Espace et géométrie

Voir dans l'espace : dés, cubes et vues

Dés, patrons, assemblages de cubes et vues : raisonner sur ce qui est caché.

Le cours · 10 notionsExercices · 12

Sommaire

Le coursOutil 1 · Les faces opposées d'un déOutil 2 · Suivre une face pendant le pliageOutil 3 · Compter couche par coucheOutil 4 · Les vues de face, de dessus, de côtéOutil 5 · La surface extérieureLes exercices

Le cours

Des collégiens construisent une tour de cubes en bois et en dessinent les vues sur une feuille quadrillée.

À quoi ça sert ?

Voir ce qu'on ne voit pas

Ranger des cartons dans un coffre, monter un meuble à partir d'un schéma, plier une boîte en carton, retrouver sa maison sur une vue d'avion : il faut imaginer un objet sous un autre angle. Ce n'est pas un don : c'est un savoir-faire qui s'apprend avec quelques outils simples, et qui revient dans presque tous les concours.

Sur un dessin en perspective, on ne voit jamais tout : trois faces d'un cube sur six, et des cubes cachés derrière les autres. Les outils de ce chapitre servent à raisonner sur ce qui est caché au lieu de le deviner.

À retenir

Outil 1 · Les faces opposées d'un dé

  • Sur un dé, deux faces opposées font toujours 7 : 1 et 6, 2 et 5, 3 et 4.
  • Deux faces qui se touchent ne sont jamais opposées : elles ne peuvent pas faire 7 ensemble.
  • Un dé porte 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 points. Faces cachées = 21 − faces visibles.

Exemple

Une tour de 3 dés

On empile 3 dés ; le dessus montre 5. Combien de points sur les faces collées et sur la face posée sur la table ?

Chaque dé a un dessus et un dessous qui font 7 : 3 × 7 = 21 pour les 6 faces horizontales. Une seule se voit (le 5) : 21 − 5 = 16. Les nombres sur les côtés ne servent à rien.

À retenir

Outil 2 · Suivre une face pendant le pliage

  • Sur un patron, deux carrés séparés par un seul carré sur une même ligne deviennent des faces opposées.
  • Deux arêtes qui forment un angle droit au bord du patron se recollent : les faces qu'elles portent deviennent voisines.
  • Pour un sommet : il appartient à trois faces. Replie le patron petit à petit en suivant le coin.
  • Pour reconnaître un cube : vérifie les voisines, puis l'ordre dans lequel elles tournent autour d'un sommet (attention au miroir).

Exemple

Deux vues d'un cube lettré

Vue 1 : A, B, C. Vue 2 : A, D, E. Quelle lettre est opposée à A ?

A touche B, C, D et E : ce sont ses 4 voisines. La sixième lettre, F, ne la touche jamais : c'est la face opposée.

À retenir

Outil 3 · Compter couche par couche

Si les cubes ne flottent pas, sous chaque cube visible il y a une colonne pleine jusqu'au sol. On compte donc couche par couche (le sol, puis l'étage au-dessus…) ou colonne par colonne en notant la hauteur de chaque colonne sur une vue de dessus.

Pour un grand cube peint puis découpé : les coins ont 3 faces peintes, les arêtes 2, le milieu des faces 1 et l'intérieur 0.

À retenir

Outil 4 · Les vues de face, de dessus, de côté

  • Vue de face : pour chaque rangée, on ne voit que la colonne la plus haute.
  • Vue de dessus : chaque colonne occupée donne un carré, quelle que soit sa hauteur.
  • La vue de gauche est la vue de droite retournée comme dans un miroir ; de même pour la vue de derrière et la vue de face.
  • Au maximum : dans chaque case, le plus petit des deux nombres lus de face et de côté. Au minimum : une même pile peut servir aux deux vues.

À retenir

Outil 5 · La surface extérieure

Chaque cube a 6 faces. Quand deux cubes sont collés, deux faces disparaissent (une sur chacun).

Surface = 6 × nombre de cubes − 2 × nombre de collages

Moins il y a de collages (assemblage « étiré »), plus la surface est grande.

Attention

Dans un problème de concours, commence toujours par te demander : qu'est-ce qui est caché, et quel outil permet de le retrouver sans le voir (le 7 du dé, le patron, les couches, les vues) ? Les animations de correction te montrent le geste : refais-le ensuite dans ta tête.

Les exercices

  1. Niveau 1 · Découverte

    Les bases, pas à pas.
    Le vrai déFaces opposées de somme 7, faces cachées.
    Pas encore joué    Compléter le patronLe 6e carré, et quel cube on obtient.
    Pas encore joué    Couche par coucheCubes cachés et surface extérieure.
    Pas encore joué    Vues d'un empilementDe face, de dessus, de droite ; l'aquarium couché.
    Pas encore joué

  2. Niveau 2 · Entraînement

    Les pièges classiques.
    Tours et cubes lettrés7 × dés − dessus, face opposée en deux vues.
    Pas encore joué    Sommets et miroirsTrois faces d'un sommet, cubes miroirs, ligne fermée.
    Pas encore joué    Faces peintesGrand cube peint, surface, assemblage tourné.
    Pas encore joué    Au plus de cubesEffet miroir, maximum d'après deux vues.
    Pas encore joué

  3. Niveau 3 · Expert

    Pour aller plus loin.
    Sur la tableTrois positions d'un cube, ordre autour d'un sommet.
    Pas encore joué    Deux sommets, ligne ferméePlier de tête, niveau concours.
    Pas encore joué    Pièces et rotationsCoins retirés, miroir, pavage par pièces.
    Pas encore joué    Au moins de cubesMinimum, trois vues, hauteur d'eau décimale.
    Pas encore joué