Chapitre 20 · Espace et géométrie
Voir dans le plan : rotations, miroirs, pliages
Faire tourner, refléter, plier et découper dans sa tête, comme au concours.
Le cours
À quoi ça sert ?
Voir avant de tourner
Retourner une pièce de puzzle dans sa tête avant de la poser, lire l’heure sur une montre vue dans un miroir, plier une feuille pour découper une guirlande de bonshommes, savoir d’avance quelle part de pizza est la plus grosse : c’est la vision dans le plan. Elle se travaille avec quelques outils simples, qui transforment une impression floue en raisonnement sûr.
Dans ces problèmes, on ne calcule presque pas : on suit un repère, on compte des crans, on applique une symétrie. Voici cinq outils qui reviennent sans cesse dans les problèmes de concours.
À retenir
Outil 1 · Suivre un repère
Plutôt que de faire tourner toute la figure dans ta tête, choisis un seul détail facile à reconnaître (une case colorée, une lettre, un coin) et suis-le pendant tout le mouvement. Vérifie ensuite un deuxième détail : s’il est d’accord, ta réponse est sûre.
À retenir
Outil 2 · Compter les crans : les tours complets ne comptent pas
Une figure qui a k positions (6 pour un hexagone, 12 pour un cadran) revient à sa place après k crans. Pour un grand nombre n de crans, on fait la division euclidienne de n par k : seul le reste compte.
Deux couronnes qui tournent en sens opposés s’éloignent l’une de l’autre de la somme de leurs crans ; dans le même sens, de leur différence.
Exemple
Un hexagone qui tourne de 20 crans
20 = 3 × 6 + 2. Les 3 tours complets ramènent l’hexagone à sa place : tourner de 20 crans revient à tourner de 2 crans. S’il tourne ensuite de 9 crans dans l’autre sens, le bilan est 20 − 9 = 11 crans, soit 11 − 6 = 5 crans dans le premier sens.
À retenir
Outil 3 · Le miroir échange la gauche et la droite
- Dans un miroir (ou à travers une vitre), l’ordre des lettres ou des chiffres est inversé ET chaque lettre est retournée. Le haut reste en haut.
- Dans un reflet dans l’eau, c’est l’inverse : le haut et le bas s’échangent, l’ordre gauche-droite ne change pas.
- Les lettres symétriques (A, H, M, O, T…) ne changent pas dans le miroir : pour trancher, regarde les autres.
- Un rayon lumineux qui frappe un miroir penché « / » ou « \ » tourne d’un quart de tour : suis-le case par case.
Exemple
Le nombre 25 collé sur une vitre
Vu de l’autre côté, le 5 passe à gauche et le 2 à droite. Chaque chiffre est retourné : en chiffres d’afficheur, un 5 retourné ressemble à un 2 et un 2 retourné à un 5. On lit donc… 25 ! Le piège serait de répondre 52.
À retenir
Outil 4 · Un pli est un axe de symétrie
Quand on plie une feuille, deux points qui se touchent sont symétriques par rapport au pli. Donc, pour déplier, on ajoute le symétrique de chaque trou, de chaque coupe.
À chaque pli, le nombre d’épaisseurs double : 2 plis donnent 4 épaisseurs, 3 plis en donnent 8. Avec plusieurs plis, on déplie dans l’ordre inverse, un pli à la fois.
Exemple
Une bande de 8 cases pliée deux fois
On plie la moitié droite sur la gauche : la case 8 se pose sur la 1, la 7 sur la 2… Puis on replie encore : la pile « 3 et 6 » se pose sur la pile « 2 et 7 ». Un trou dans la deuxième case traverse les cases 2, 3, 6 et 7, dont la somme vaut 18.
À retenir
Outil 5 · Découper et recoller pour comparer des aires
- Un morceau qu’on déplace garde son aire. Pour une figure biscornue sur quadrillage, on l’entoure d’un rectangle et on retire les triangles des coins : chacun vaut la moitié d’un petit rectangle.
- Découper un carré dans un coin ne change pas le périmètre : les deux bords du creux remplacent exactement ce qu’on a enlevé. Une entaille au milieu d’un côté, elle, l’augmente.
- Deux figures qui se chevauchent : en additionnant leurs aires, on compte deux fois la partie commune. Il faut la retirer une fois.
- Pour paver une forme, commence par une case qui n’a qu’une seule façon d’être couverte (un coin, un bout de couloir) : la pièce est forcée, et elle en force une autre.
Attention
Dans les exercices, tu peux faire tourner les pièces, les retourner ou plier les bandes toi-même avec les boutons : essaie d’abord de prévoir le résultat, puis vérifie. C’est en comparant ta prévision et la réalité que ta vision dans le plan progresse.
Les exercices
Niveau 1 · Découverte
Les bases, pas à pas.Tourner cran par cranHexagone, couronnes, machine quart de tour, cache percé.Pas encore jouéDans le miroirVitre, mots, négatif, rayon laser.Pas encore jouéPlier et percerBande trouée, feuille coupée, calques, rabats.Pas encore jouéDécouper, recollerAires grises, puzzle, coins, pavage, chevauchements.Pas encore jouéNiveau 2 · Entraînement
Les pièges classiques.Le bon sens, le bon ordreGrands nombres de crans, sens opposés, l'ordre des machines.Pas encore jouéLes pièges du miroirLettres symétriques, 2 et 5, rayons à rebonds.Pas encore jouéPlis croisésPlis dans les deux sens, coupes en biais, 4 calques.Pas encore jouéComparer sans mesurerPlus grande aire, pièces tournées, entaille, pièces en L.Pas encore jouéNiveau 3 · Expert
Pour aller plus loin.Défis rotationsMouvements qui se compensent, retrouver le programme, groupe impossible.Pas encore jouéDéfis miroirsProblème inverse, reflet dans le lac, quel miroir tourner.Pas encore jouéDéfis pliagesTrois plis, feuille pliée en quatre, calques en L.Pas encore jouéDéfis airesL'intruse, la croix, le côté du carré, les leurres retournés.Pas encore joué